Der Gegenstand dieser Arbeit ist die lineare Stabilitätsanalyse einer instabilen Aluminium/Kryolith Grenzfläche in Aluminium-Elektrolysezellen mit einer Gundströmung ("background flow") sowie Methoden für die Rekonstruktion der Aluminium/Kryolith Grenzfläche. Es wurden zwei Rekonstruktionsprobleme behandelt: die Rekonstruktion aus der Störung des elektrischen Potentials bzw. aus der Störung des Magnetfelds. Die Ursache für beide Störungen ist die Grenzflächenauslenkung. Die lineare Stabilitätsanalyse wurde an einem vereinfachten Modell durchgeführt. Es wurde die Ausbreitung von Gravitationswellen unter Einfluss von vertikalem Magnetfeld in einem unendlich ausgedehnten Kanal mit isolierenden Wänden studiert. Die Navier-Stokes Gleichungen wurden in einer Flachwassernäherung aufgeschrieben und dann linearisiert. Es wurde festgestellt, das der Stabilitätsbereich durch die dimensionslose Geschwindigkeit der Grundströmung und der MHD-Parameter begrenzt ist. Das Aspektverhältnis und die Materialeigenschaften beeinflussen die Stabilitätsgrenzen. Es wurde gefunden, dass die Kelvin-Helmholtz-Instabilität und die MHD-Instabilität unabhängig voneinander entstehen. Die Rekonstruktion der Grenzfläche in einer Alu-Zelle aus dem elektrischem Potential beinhaltet zwei Klassen von Problemen. Das Vorwärtsproblem betrifft die Berechnung eines elektrischen Potentials in den Fluiden bei bekannter Grenzflächendeformation. Das Inverse Problem umfasst die Bestimmung von einer unbekannten Grenzfläche aus der bekannten Potentialverteilung. Bei der Lösung des Vorwärtsproblems wurden die linearisierte Grundgleichungen analytisch gelöst. Das Inverse Problem wurde mit Standardtechniken wie Singulär-Wert Zerlegung gelöst. Anschließend wurde eine optimale Lösung mittels L-Kurve gefunden, die als Kompromiss zwischen dem Datenfehler und dem Lösungsfehler gewählt wurde. Zwecks Validierung wurde ein numerisches Experiment durchgeführt, das die Robustheit des Verfahren gegenüber dem Messfehler gezeigt hat. Für die Rekonstruktion der Grenzfläche aus dem Magnetfeld wurde das Vorwärtsproblem gelöst. Die Geometrie des Systems wurde als ein unendlich ausgedehnter Zylinder mit isolierenden Wänden und beliebiger Querschnittsform beschrieben. Zwei Fluide mit unterschiedlichen elektrischen Leitfähigkeiten und Dichten sind übereinander angeordnet. Der vertikale homogene elektrische Strom fließt über die Grenzfläche. Die Störung des Magnetfeldes und die Stromverteilung wurden berechnet. Zwei Beispiele wurden berechnet, eins für eine kreisförmige Querschnittsform und ein anderes für eine rechteckige Querschnittsform.
The topic of this thesis is the linear stability analysis and reconstruction of an unstable aluminium-cryolite interface in an aluminium reduction cell with background flow and the reconstruction of the aluminum-cryolite interface. Two reconstruction problems are considered. In the first one the interface was reconstructed from the electric potential perturbation and in the second one from the magnetic field perturbation. Both perturbations resulted from the deviation of the aluminium-cryolite interface from its flat shape. The stability analysis of the aluminium reduction cell was performed on a simplified geometrical model. The propagation of gravitational waves in the infinite channel with insulating channel walls was observed. Homogeneous vertical electrical current and magnetic field were applied. Navier-Stokes equations were written in the shallow water approximation and then linearized. The stability thresholds are formed by the dimensionless velocity of the background flow and the MHD-parameter. Also the aspect ratio and the material parameter influence the stability limits. It is found that the Kelvin-Helmholtz instability and the MHD- instability do not influence each other. The reconstruction of the interface in aluminium reduction cells from electrical potential measurement contains two classes of different problems. The forward problem concerns with the calculation of the electrical potential in the fluids if the interface shape between aluminium and cryolite is known. The inverse problem concerns with the determination of the unknown interface from a known potential distribution. In order to solve the forward problem the governing equations are linearized and solved analytically. The inverse problem was solved using standard techniques such as singular value decomposition (SVD). The optimal solution, which shows a compromise between data error and solution error, was found using a L-curve criterion. A numerical experiment is performed in order to validate the presented reconstruction method, which shows the robustness of the method with respect to the measurement error. For the reconstruction of the interface from magnetic field the forward problem was solved. The geometry under consideration contains an infinitely long rod with insulating walls and arbitrary form of the cross-section. Two fluids with different electrical conductivities and densities are superimposed. The vertical homogeneous electrical current flows throw the interface. The perturbation of the magnetic field and perturbation of electrical current are computed. Two examples are computed, one for a cylindrical and another for a rectangular cross-sections.