Parameter Estimation in Complex Nonlinear Dynamical Systems

Ziel der vorliegenden Dissertationsschrift ist es, mathematische bzw. numerische Verfahren zur Parameterschätzung für nichtlineare dynamische Systeme zu entwickeln, deren Modelle in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder differential-algebraischen Gleichungen vorliegen. Derartige Modelle zu validieren gelingt in der Regel nicht, indem Naturgesetze ausgenutzt werden können, vielmehr sind häufig aufwendige Messungen erforderlich, deren Datensätze dann auszuwerten sind. Numerische Verfahren zur Parameterschätzung unterliegen solchen Herausforderungen und unerwünschten Effekten wie Steifheit, schlechter Konditionierung oder Korrelationen zwischen zu schätzenden Parametern von Modellgleichungen, die rechenaufwendig sein, aber die auch schlechte Konvergenz bzw. keine Eindeutigkeit der Schätzung aufweisen können. Die Arbeit verfolgt daher zwei Ziele: erstens effektive Schätzstrategien und numerische Algorithmen zu entwickeln, die komplexe Parameter-Schätzprobleme lösen und dazu mit multiplen Datenprofilen bzw. mit großen Datensätzen umgehen können. Zweites Ziel ist es, eine Methode zur Identifizierbarkeit für korrelierte Parameter in komplexen Modellgleichungen zu entwickeln. Eine leistungsfähige direkte Strategie zur Lösung von Parameter-Schätzaufgaben ist die Umwandlung in ein Problem der optimalen Steuerung. Dies schließt folgende Methoden ein: direkte sequentielle und quasi-sequentielle Verfahren, direkte simultane Strategien, direkte Mehrfach-Schießverfahren und kombinierte Mehrfach-Schießverfahren mit Kollokationsmethoden. Diese Arbeit orientiert besonders auf quasi-sequentielle Verfahren und kombinierte Mehrfach-Schießverfahren mit Kollokationsmethoden. Speziell zur Lösung von Parameterschätzproblemen wurde die Innere-Punkte-Verfahren mit dem quasi-sequentielle Verfahren gekoppelt. Eine weitere Verbesserung zur Lösung von Parameterschätzproblemen konnte erreicht werden, indem die "reduced-space" Technik der Innere-Punkte-Verfahren benutzt wurde. Die Leistungsfähigkeit der kombinierte Mehrfach-Schießverfahren mit Kollokationsmethoden zur Lösung von Dynamischen Optimierungsproblemen war bisher damit verbunden, dass die Zustandsbeschränkungen nur in den Knoten des Diskretisierungsgitters eingehalten werden konnten. Mit dieser Arbeit konnte die kombinierte Mehrfach-Schießverfahren mit Kollokationsmethoden verbessert werden, so dass alle Zustandsgrößen die vorgegebenen Beschränkungen in allen Kollokationspunkten einhalten, was zu einer deutlichen Verbesserung des letztlich zu lösenden Optimalsteuerungsproblems zur Parameterschätzung führt. Um die Qualität Parameterschätzung zu verbessern, werden üblicherweise mehrfache Messdatensätze benutzt. In der vorgelegten Dissertation wurde zur Parameterschätzung eine dynamische Drei-Stufen-Strategie mit einem eingebauten quasi-sequenziellen Verfahren entwickelt. Durch die Zerlegung der Optimierungsvariablen kann das vorgeschlagene Verfahren sehr effizient zeitabhängige Parameter–Schätzaufgaben mit mehrfachen Datenprofilen lösen. Zur Steigerung der Recheneffizienz wurde darüber hinaus erfolgreich eine Parallel-Rechner Strategie eingebaut, die das sog. "message passing interface" (MPI) nutzt. Eine zweite Herausforderung für die Parameterschätzung nichtlinearer dynamischer Modelle betrifft die Indentifizierbarkeit der Parameter. Damit verbunden ist die Frage nach der Eindeutigkeit der geschätzten Parameter. In dieser Arbeit wird auch ein systematisches Vorgehen zur Identifizierung paarweiser Korrelationen als auch zum Erkennen von Wechselwirkungen höherer Ordnung zwischen Parametern in nichtlinearen dynamischen Systemen vorgeschlagen. Damit lässt sich sowohl die strukturelle als auch eine praktische "Nichtidentifizierbarkeit" klären. Darüber hinaus lässt sich durch eine Korrelationsanalyse darauf schließen, welche minimale Zahl von Datensätzen mit unterschiedlichen Eingängen zum Entwurf benötigt wird, um Parameterkorrelationen auszuschließen. Dies wiederum entspricht einer maximalen Zahl von korrelierten Parametern innerhalb der Korrelations–Gruppen. Im Ergebnis der Korrelationsanalyse erhält man eine notwendige Bedingung wie viele Messdaten für eine eindeutige Parameterschätzung benötigt werden.