Scherk surfaces in Heisenberg groups
- In a recent paper Uwe Abresch and Harold Rosenberg described local Scherk graphs in Heisenberg groups (Nil(3), g). Their plan was to use them as comparison surfaces in order to obtain curvature bounds for global minimal graphs and finally solve the Bernstein problem in (Nil(3), g). Therefore, we will study a construction of such surfaces by using a generalized Weierstraß representation in terms of spinors. Resulting from the integrable system approach we derive a reduced Dirac equation and a modified Sinh-Gordon equation.
- Minimalflächen in homogenen 3-Mannigfaltigkeiten mit 4-dim Isometriegruppe sind Gegendstand der aktuellen Forschung. Unter anderem ist das Bernsteinproblem in Heisenberg-Gruppen (Nil(3),g), die durch Riemannsche Submersionen über R\(^{2}\) fasern, ins Zentrum des Interesses gerückt. Ein erster Schritt in Richtung des Bernsteinproblems sind Krümmungsschranken für globale minimale Graphen in (Nil(3),g). Für das Ermitteln der Schranken benötigt man Vergleichsflächen. Scherk-Flächen sind als solche geeignet. Ein verallgemeinerter Jenkins-Serrin-Satz liefert hierfür Existenz und Eindeutigkeit. Die vorliegende Dissertation untersucht deren konforme Immersion in (Nil(3),g). Die Situation der klassischen Scherk-Fläche in R\(^{3}\) ist als Spezialfall zu verstehen. Mittels Integrabilitätsbedingungen und einer spinoriellen Weierstraß-Darstellung lässt sich für den allgemeinen Fall eine nicht-lineare Dirac-Gleichung herleiten. Um Lösungen näherungsweise zu studieren, bedient man sich der Störungstheorie.
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