Sparse Grid Methods for Higher Dimensional Approximation

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit Dünngitterverfahren zur Lösung von höherdimensionalen Problemen. Sie zeigt drei neue Aspekte von Dünnen Gittern auf: Erweiterungen der elementaren Werkzeuge zur Arbeit mit Dünnen Gittern, eine Analyse von sowohl inhärenten Einschränkungen als auch Vorteilen von Dünnen Gittern speziell für die Anwendung zur Dichteapproximation (Fokker--Planck--Gleichung) sowie einen neuen Ansatz zur dimensions- und ortsadaptiven Darstellung von Funktionen effektiv niedriger Dimension. <br /> Der erste Beitrag beinhaltet die erste (dem Autor bekannte) Fehlerschranke für inhomogene Randbedingungen bei Dünngitterapproximation und eine erweiterte Operationsbibliothek zur Durchführung von Addition, Multiplikation und Hintereinanderausführung von Dünngitterdarstellungen sowie einen adaptiven Kollokationsansatz für approximative Integraltransformationen mit beliebigen Kernen. Die Analyse verwendet Konditionszahlen für den Datenfehler und verallgemeinert damit die bisher bekannten Abschätzungen aus der Literatur. Ferner wird erstmals auch der Konsistenzfehler bei derartigen Operationen berücksichtigt sowie eine adaptive Methode zur Kontrolle desselben vorgeschlagen, die insbesondere zuvor vorhandene Schwachstellen behebt und die Methode verlässlich macht. <br /> Der zweite Beitrag ist eine Untersuchung von dimensionsabhängigen Kosten/Nutzen-Koeffizienten, wie sie bei der Lösung von Fokker--Planck--Gleichungen und der damit verbundenen Approximation von Wahrscheinlichkeitsdichten auftreten. Es werden sowohl theoretische Schranken als auch A-posteriori-Fehlermessungen anhand einer repräsentativen Fallstudie für lineare Fokker--Planck--Gleichungen und der Normalverteilung auf R^d vorgestellt und die auftretenden dimensionsabhängigen Koeffizienten bei Interpolation und Bestapproximation (sowohl L₂ als auch beim Lösen der Gleichung mittels Galerkin-Verfahren) untersucht. Dabei stehen reguläre Dünne Gitter, adaptive Dünne Gitter und die speziell für die Energienorm optimierten Dünnen Gitter im Vordergrund. Insbesondere werden Schlussfolgerungen auf inhärente Einschränkungen aber auch auf Vorteile gegenüber klassischen Vollgitterverfahren diskutiert. <br /> Der dritte Beitrag dieser Arbeit ist der erste Ansatz für dimensionsadaptive Verfeinerung, der insbesondere für Approximationsprobleme konzipiert wurde. Der Ansatz behebt bekannte Schwierigkeiten mit frühzeitiger Terminierung, wie sie bei bisherigen Ansätzen zur Verallgemeinerung der erfolgreichen Dimensionsadaptivität aus dem Bereich Dünngitterquadratur zu beobachten waren. Das Verfahren erlaubt eine systematische Reduktion der Freiheitsgrade für Funktionen, die effektiv nur von wenigen (Teilmengen von) Koordinaten abhängen. Der Ansatz kombiniert die erfolgreiche ortsadaptive Dünngittertechnik aus dem Bereich der Approximation mit der ebenfalls erfolgreichen dimensionsadaptiven Verfeinerung aus dem Bereich der Dünngitterquadratur. Die Abhängigkeit von unterschiedlichen (Teilmengen von) Koordinaten wird mittels gewichteter Räume unter Zuhilfenahme der ANOVA-Zerlegung durchgeführt. Die Arbeit stellt neue a priori optimierte Dünngitterräume vor, die optimale Approximation für Funktionenräume mit gewichteten gemischten zweiten Ableitungen und bekannten Gewichten erlauben. Die Konstruktion liefert die bekannten regulären Dünnen Gitter mit gewichtsabhängigen Leveln für jede Teilmenge von Koordinaten (ANOVA Komponenten). Für unbekannte Gewichte wird eine neue a-posteriori dimensionsadaptive Methode vorgestellt, die im Unterschied zu bekannten Verfahren explizit ANOVA Komponenten ermittelt und berücksichtigt und so höhere Verlässlichkeit beim Einsatz für Approximationsanwendungen erzielt. Neben reiner dimensionsadaptiver Approximation erlaubt das Verfahren auch erstmals gekoppelte orts- und dimensionsadaptive Verfeinerung. Die Arbeit stellt die Methodik dar und verifiziert die Verlässlichkeit anhand dimensionsadaptiver Interpolation und dimensionsadaptiver Lösung partieller Differentialgleichungen./td>