Free Theorems in Languages with Real-World Programming Features

Abstract

Free theorems, type-based assertions about functions, have become a prominent reasoning tool in functional programming languages. But their correct application requires a lot of care. Restrictions arise due to features present in implemented such languages, but not in the language free theorems were originally investigated in.<br /> This thesis advances the formal theory behind free theorems w.r.t. the application of such theorems in non-strict functional languages such as Haskell. In particular, the impact of general recursion and forced strict evaluation is investigated. As formal ground, we employ different lambda calculi equipped with a denotational semantics.<br /> For a language with general recursion, we develop and implement a counterexample generator that tells if and why restrictions on a certain free theorem arise due to general recursion. If a restriction is necessary, the generator provides a counterexample to the unrestricted free theorem. If not, the generator terminates without returning a counterexample. Thus, we may on the one hand enhance the understanding of restrictions and on the other hand point to cases where restrictions are superfluous.<br /> For a language with a strictness primitive, we develop a refined type system that allows to localize the impact of forced strict evaluation. Refined typing results in stronger free theorems and therefore increases the value of the theorems. Moreover, we provide a generator for such stronger theorems.<br /> Lastly, we broaden the view on the kind of assertions free theorems provide. For a very simple, strict evaluated, calculus, we enrich free theorems by (runtime) efficiency assertions. We apply the theory to several toy examples. Finally, we investigate the performance gain of the foldr/build program transformation. The latter investigation exemplifies the main application of our theory: Free theorems may not only ensure semantic correctness of program transformations, they may also ensure that a program transformation speeds up a program.

Freie Theoreme sind typbasierte Aussagen über Funktionen. Sie dienen als beliebtes Hilfsmittel für gleichungsbasiertes Schließen in funktionalen Sprachen. Jedoch erfordert ihre korrekte Verwendung viel Sorgfalt. Bestimmte Sprachkonstrukte in praxisorientierten Programmiersprachen beschränken freie Theoreme. Anfängliche theoretische Arbeiten diskutieren diese Einschränkungen nicht oder nur teilweise, da sie nur einen reduzierten Sprachumfang betrachten.<br /> In dieser Arbeit wird die Theorie freier Theoreme weiterentwickelt. Im Vordergrund steht die Verbesserung der Anwendbarkeit solcher Theoreme in praxisorientierten, „nicht-strikt” auswertenden, funktionalen Programmiersprachen, wie Haskell. Dazu ist eine Erweiterung des formalen Fundaments notwendig. Insbesondere werden die Auswirkungen von allgemeiner Rekursion und selektiv strikter Auswertung untersucht. Als Ausgangspunkt für die Untersuchungen dient jeweils ein mit einer denotationellen Semantik ausgestattetes Lambda-Kalkül.<br /> Im Falle allgemeiner Rekursion wird ein Gegenbeispielgenerator entwickelt und implementiert. Ziel ist es zu zeigen ob und warum allgemeine Rekursion bestimmte Einschränkungen verursacht. Wird die Notwendigkeit einer Einschränkung festgestellt, liefert der Generator ein Gegenbeispiel zum unbeschränkten Theorem. Sonst terminiert er ohne ein Beispiel zu liefern. Auf der einen Seite erhöht der Generator somit das Verständnis für Beschränkungen. Auf der anderen Seite deutet er an, dass Beschränkungen teils überflüssig sind.<br /> Bezüglich selektiv strikter Auswertung wird in dieser Arbeit ein verfeinertes Typsystem entwickelt, das den Einfluss solcher vom Programmierer erzwungener Auswertung auf freie Theoreme lokal begrenzt. Verfeinerte Typen ermöglichen stärkere, und somit für die Anwendung wertvollere, freie Theoreme. Durch einen online verfügbaren Generator stehen die Theoreme faktisch aufwandsfrei zur Verfügung.<br /> Abschließend wird der Blick auf die Art von Aussagen, die freie Theoreme liefern können, erweitert. Für ein sehr einfaches, strikt auswertendes, Kalkül werden freie Theoreme mit Aussagen über Programmeffizienz bzgl. der Laufzeit angereichert. Die Anwendbarkeit der Theorie wird an einigen sehr einfachen Beispielen verifiziert. Danach wird die Auswirkung der foldr/build- Programmtransformation auf die Programmlaufzeit betrachtet. Diese Betrachtung steckt das Anwendungsziel ab: Freie Theoreme sollen nicht nur die semantische Korrektheit von Programmtransformationen verifizieren, sie sollen außerdem zeigen, wann Transformationen die Performanz eines Programms erhöhen.