Untersuchung der Primzahlzählfunktion und verwandter Funktionen

Abstract

Die Verteilung der Primzahlen ist bekanntlich eng mit den Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion verbunden. Insbesondere hat die Riemannsche Vermutung, nach welcher alle nichttrivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen sollen, starke Auswirkungen auf die Größe des Restglieds im Primzahlsatz, welcher besagt, dass die Primzahlzählfunktion zum Integrallogarithmus asymptotisch äquivalent ist.<br /> Die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Gerade lassen sich numerisch approximieren, und die Riemannsche Vermutung lässt sich auf diesem Wege zumindest partiell verifizieren.<br /> Der Beitrag dieser Arbeit besteht in der Anwendung derartiger Resultate zur Untersuchung der Primzahlzählfunktion und verwandter Funktionen. Dazu gehören hypothetische Abschätzungen, die auf der partiellen Gültigkeit der Riemannschen Vermutung bis zu einer gegebenen Höhe basieren, sowie numerische Fragen der Berechnung und der effizienten Abschätzung der Primzahlzählfunktion.

<strong>Investigation of the prime-counting function and related functions</strong><br /> The distribution of prime numbers is closely related to the distribution of non-trivial zeros of the Riemann zeta function. In particular, the Riemann hypothesis, which states that all non-trivial zeros have real part 1/2, implies a very tight bound for the remainder term in the prime number theorem. <br /> The zeros of the Riemann zeta function on the critical line can be approximated numerically, which can be turned into a partial verification of the Riemann hypothesis. <br /> This thesis concerns the problem of using such information to gain knowledge about the distribution of prime numbers. This includes hypothetical bounds for the remainder in the prime number theorem, which assume the correctness of the Riemann hypothesis up to a certain height, as well as efficient numerical algorithms for calculating and bounding the prime counting function.