Counting solutions of differential equations

Lange-Hegermann, Markus; Plesken, Wilhelm

doi:4993

Counting solutions of differential equations = Zählen von Lösungen von Differentialgleichungen

Lange-Hegermann, Markus (Author)

2014

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Markus Lange-Hegermann

ImpressumAachen 2014

Umfang205 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-01-17

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-49933
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229056/files/4993.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Differentialalgebra (Genormte SW) ; Krull-Dimension (Genormte SW) ; Zählen (Genormte SW) ; Computeralgebra (Genormte SW) ; Potenzreihe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Zählpolynom (frei) ; Dimensionspolynom (frei) ; counting polynomial (frei) ; dimension polynomial (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 13N99 * 35A01 * 35A02 * 35N20 * 35C10

Kurzfassung
Differentialgleichungssysteme sind notorisch schwer zu lösen, und viele solcher Systeme haben keine Lösungen aus „elementaren” Funktionen in geschlossener Form. Trotzdem gibt es immer bessere Heuristiken in Computeralgebrasystemen, um Lösungen zu finden. Bei solchen von einem Computeralgebrasystem ausgegeben Lösungen bleibt die Frage offen, ob diese Lösungen bereits alle Lösungen sind. Das Ziel dieser Arbeit ist eine quantitative Analyse von Lösungsmengen von Differentialgleichungssystemen, mit der man entscheiden kann, ob die Lösungen, welche von einem heuristischen Algorithmus gefunden wurden, bereits die vollständige Lösungsmenge bilden. Dafür behandelt diese Arbeit drei Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems: das differentielle Dimensionspolynom, die Zählsequenz und das differentielle Zählpolynom. Das differentielle Dimensionspolynom wurde von Kolchin eingeführt, um die Größe der Lösungsmenge eines Differentialprimideals zu beschreiben, indem es die generische Anzahl der freien Potenzreihenkoeffizienten in jeder Ordnung angibt. Diese Arbeit verallgemeinert das differentielle Dimensionspolynom und seine Invarianz unter differentiell birationalen Abbildungen von Differentialprimidealen auf Ideale, welche von sogenannten einfachen differentiellen Systemen stammen. Das differentielle Dimensionspolynom beinhaltet genügend Daten, um zuverlässig die Frage beantworten zu können, ob zwei Lösungsmengen von Idealen einfacher differentieller Systeme gleich sind. Dies ist hinreichend für die Betrachtung der meisten gebräuchlichen Differentialgleichungssysteme. Für eine Beschreibung, die nicht nur generische Aspekte betrachtet, führt diese Arbeit die Zählsequenz ein. Die Zählsequenz gibt eine präzise Beschreibung der Menge der Taylor-Polynome von Lösungen, insbesondere werden endliche und abzählbar unendliche Ausnahmemengen berücksichtigt. Wenn es ein Polynom gibt, das ultimativ die Zählsequenz beschreibt, dann wird dieses Polynom das differentielle Zählpolynom genannt. Es ist bekannt, dass es keinen Algorithmus geben kann, welcher die Zählsequenz oder das differentielle Zählpolynom berechnet. In dieser Arbeit werden dennoch die Zählsequenz und das differentielle Zählpolynom von einigen wichtigen Klassen von Differentialgleichungssystemen berechnet, insbesondere von linearen Differentialgleichungssystemen, den meisten gebräuchlichen semilinearen Differentialgleichungssystemen und von quasilinearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung. Damit ist also die Existenz der Zählsequenz und des differentiellen Zählpolynoms für diese Klassen von Differentialgleichungssystemen gezeigt. Diese beiden Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems können entscheiden, ob zwei ineinander enthaltene Lösungsmengen gleich sind, sobald keine abzählbar unendlichen Ausnahmemengen auftreten. Sowohl das differentielle Dimensionspolynom, die Zählsequenz als auch das differentielle Zählpolynom bestimmen klassische Beschreibungen der Größe der Lösungsmenge eines Differentialgleichungssystems, darunter die Anzahl der frei wählbaren Funktionen, die Cartan-Charaktere, Einsteins Stärke und klassische Invarianten der Differentialalgebra wie den differentiellen Typ, die differentielle Dimension und die typische Dimension. Der Thomas-Algorithmus, welcher als Teil dieser Arbeit implementiert wurde, ist die algorithmische Grundlage der Beschreibung der Größe von Lösungsmengen. Dieser Algorithmus partitioniert Lösungsmengen in Lösungsmengen einfacher Systeme. Damit kann man sowohl das differentielle Dimensionspolynom als auch weitere Konsequenzen von Differentialgleichungssystemen ausrechnen.

Systems of differential equations are notoriously hard to solve, and many such systems do not admit closed form solutions in "elementary" functions. Despite this, increasingly good heuristics are implemented in computer algebra systems to find solutions. Given a set of closed form solutions returned by a computer algebra system, the question remains whether this set is the complete solution set. The aim of this thesis is a quantitative analysis of the solution set of a system of differential equations, which decides whether the solutions found by a heuristical solver form a proper subset of the complete solution set. Therefore, this thesis examines three measures of the size of the solution set of a system of differential equations: the differential dimension polynomial, the counting sequence, and the differential counting polynomial. The differential dimension polynomial was originally introduced by Kolchin to describe the size of solution sets of a prime differential ideal in the sense that it generically describes the number of free power series coefficients up to any order. This thesis generalizes the differential dimension polynomial and its invariance conditions under differential birational maps from differential prime ideals to ideals associated to so-called simple differential systems. The differential dimension polynomial carries enough information to reliably answer the question whether two full solution sets of ideals associated to simple differential systems included in each other are equal, and this sufficiently describes most common differential systems. To give a non-generic description of the size of the solution set of a system of differential equations, this thesis introduces the counting sequence. The counting sequence describes the set of Taylor polynomials of solutions of each degree precisely, in the sense that it accounts for finite and countably infinite exceptional sets. If there exists a closed form polynomial that ultimately describes the counting sequence, then this closed form is called the differential counting polynomial. It is well-known that there cannot be an algorithm to compute the counting sequence or the differential counting polynomial. Nevertheless, in this thesis the counting sequence and the differential counting polynomial are computed for many important classes of systems of differential equations, in particular linear systems, most common semilinear systems, and quasilinear first order ordinary differential equations; in particular, for these classes of differential equations the existence of both the counting sequence and the differential counting polynomial is proved. Both these measures can decide whether an inclusion of two solution sets is proper under the condition that no countably infinite exceptional sets appear. The differential dimension polynomial, the counting sequence, and the differential counting polynomial determine classical measures that describe the size of the solution set of a system of differential equations, including the number of free functions, Cartan's characters and index of generality, Einstein's strength, and classical invariants from differential algebra like the differential type, the differential dimension, and the typical dimension. The Thomas decomposition algorithm, which is implemented as part of this thesis, is the algorithmic foundation for these descriptions of the size of solution sets. This algorithm partitions the solution set into solution sets of simple differential systems. It allows to compute the differential dimension polynomial and also certain consequences of differential systems, which are independent of counting.

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