Informationshierarchie und statistische Analyse bei Zensierungsmodellen der Survival Analysis

Abstract

Bei der Analyse von Lebensdauerdaten der Survival Analysis ( Überlebenszeitanalyse ) sind die Daten von Interesse aufgrund von Zeitrestriktionen häufig nicht mehr vollständig beobachtbar und somit zensiert. In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Zensierungsmodelle (Rechtszensierung, Linkszensierung, Current Status Model, Intervallzensierung Typ II, Doppelzensierung, Mittelzensierung, Survival/Sacrifice Model und Generalized Survival/Sacrifice Model) vorgestellt und analysiert. Hierbei werden verschiedene Konzepte und Ideen des Rechtszensierungsmodells auf andere Zensierungsmodelle übertragen:Ein wichtiges Hilfsmittel für die Konstruktion nichtparametrischer Verfahren ist die Doob-Meyer-Zerlegung, bei der ein Prozess durch einen Martingalprozess und den zugehörigen Kompensator dargestellt wird. Diese Zerlegung wird für Zählprozesse verschiedener Zensierungsmodelle durchgeführt. Hierdurch werden mit Hilfe der Martingalprozesse klassische Tests auf die Gültigkeit von parametrischen Modellen möglich. Eine weitere Möglichkeit ist durch die Verwendung der Hauptkomponenten eines stochastischen Prozesses, auf deren Thematik durch eine kurze Einführung eingegangen wird, gegeben.Weiterhin wird der Nachweis der Konsistenz (mit Hilfe der Kullback-Leibler-Information) sowie der asymptotischen Normalität des Maximum-Likelihood-Schätzers für verschiedene Zensierungsmodelle durchgeführt. Hierbei muss für den Nachweis der Konsistenz eine Trennungs- bzw. Diskrepanzeigenschaft der Kullback-Leibler-Information, die unter Rechtszensierung, wie in Stute (1992) gezeigt, verloren geht, durch neue Voraussetzungen gewonnen werden. In der vorliegenden Arbeit wird hierzu die Kullback-Leibler-Information in den verschiedenen Zensierungsmodellen zuerst definiert und analysiert. Anschließend werden notwendige und hinreichende Bedingungen für diese Trennungseigenschaft hergeleitet und die Konsistenz und asymptotische Normalität des Maximum-Likelihood-Schätzers gezeigt. Zusätzlich wird eine Informationshierarchie erstellt, durch die die verschiedenen Kullback-Leibler-Informationen der Zensierungsmodelle, wenn dies möglich ist, verglichen und nach der Schwere des Zensierungseffekts geordnet werden.Außerdem wird im Generalized Survival/Sacrifice Model die Möglichkeit erarbeitet, einen Goodness-of-Fit Test für eine bestimmte Funktionenklasse durch Verwendung einer Transformation eines stochastischen Prozesses durchzuführen. Diese Transformation ist eine Martingaltransformation, da der Prozess bei geschätztem Parameter so transformiert werden kann, dass der transformierte Prozess in Verteilung gegen eine zeittransformierte Brownsche Bewegung konvergiert. Hierbei werden Ideen des nichtzensierten Falls von Khmaladze (1981) sowie Ideen des Rechtszensierungsmodells von Nikabadze und Stute (1997) verwendet. When analyzing survival analysis (lifetime) data, the data of interest is often not completely observable and therefore censored. This is for example caused by time restrictions. In this thesis several different censoring schemes (right censoring, left censoring, current status, interval censoring case II, double censorship, middle censoring, survival/sacrifice data and generalized survival/sacrifice data) are presented and analyzed. In this context different concepts and ideas are transferred from the right censorship model to the other censoring schemes:An important structure for the usage of nonparametric techniques is the Doob-Meyer decomposition where a stochastic process is represented as a martingale process and the associated compensator process. This decomposition is done for several counting processes within different censoring schemes and hereby classical tests for the validity of a parametric model using the martingale processes are possible. Another possibility is given by the use of the principal components of a stochastic process and therefore this concept is introduced shortly. Furthermore the proof of the consistency (using the Kullback-Leibler information) as well as the proof of the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator for different censoring schemes is done. In this context the discrepancy property of the Kullback-Leibler information which is lost in the right censorship model, see Stute (1992), has to be obtained using new prerequisites. Therefore the Kullback-Leibler information is defined and analyzed for the several censoring schemes. Afterwards necessary and sufficient conditions to obtain this discrepancy property are derived and the consistency and asymptotic normality of the maximum likelihood estimators are shown. In addition an information hierarchy is proposed which enables us to compare the Kullback-Leibler information of the different censoring schemes if this is possible. Moreover, the ability to perform a goodness-of-fit test for a specific family of functions using a transformation of a stochastic process is derived within the generalized survival/sacrifice model. Since this transformation transforms the process including the estimated parameter into a process that converges to a time-shifted Brownian motion in distribution, it is a martingale transformation. This is done using the ideas of Khmaladze (1981) when no censoring is present as well as the ideas of Nikabadze and Stute (1997) for right censoring.