Dimension algebraischer Varietäten und numerische Methoden

Abstract

Als algebraische Varietäten bezeichnet man Mengen aller gemeinsamen Nullstellen einer endlichen Menge von Polynomen. Die Polynome, die an allen Punkten einer algebraischen Varietät exakt verschwinden, bilden ein Ideal, das sogenannte Verschwindungsideal. Verschwindungsideale zeichnen sich damit durch eine Forderung aus, die numerisch nicht haltbar ist. Daher wurde u. a. von Sauer eine numerische Entsprechung, die approximativen Ideale eingeführt und ein Verfahren zur Konstruktion approximativer H-Basen angegeben. Diese Arbeit entwickelt den Ansatz der approximativen H-Basis weiter, wobei Startwertabhängigkeiten sowie die Auswirkung einer schrittweisen Interpolation untersucht werden. Dies führt zu neuen Verfahren zur Konstruktion approximativer H-Basen, insbesondere bzgl. der verwendeten Norm. Weiterhin werden neue Abschätzungen für Rechenoperationen auf approximativen Idealen angegeben, die aufgrund ihrer approximativen Definition die bekannten Abschlusseigenschaften eines Ideals nicht mehr erfüllen. Es werden Methoden zur Bestimmung dünn besetzter H-Basen konstruiert und das approximative Ideal-Membership-Problem besprochen. Als Anwendungsmöglichkeit wird die Gelenkerkennung in kinematischen Ketten vorgestellt. Zudem werden numerische Vergleiche mit anderen Methoden, u. a. approximativen Randbasen, durchgeführt. Algebraic varieties are sets of common zeros of a finite set of polynomials. The polynomials vanishing exactly at all points of an algebraic variety form an ideal, denoted as vanishing ideal. By definition vanishing ideals are based on conditions that do not hold in numerical situations. Therefore Sauer and others introduced approximate ideals and also presented a method for constructing approximate H-bases. This thesis advances the approach of approximate H-bases and gives an analysis of dependency of initial values and stepwise interpolation. This yields new methods for constructing approximate H-bases, especially in terms of the used norm. Moreover new estimates for operations in approximate ideals are given because the closure conditions of ideals do not hold in the approximate case. We also give methods for calculating sparse H-bases and discuss the approximate ideal-membership-problem. As an application we present a method for joint-detection in kinematic chains. Furthermore we numerically compare approximate H-bases with other methods like approximate border bases.