Gated chamber complexes, simplicial arrangements and Coxeter groups

Abstract

This work examines gated chamber complexes, which can be thought of as generalisations of buildings in the sense of Tits, hyperplane arrangements which behave similar to reflection arrangements and it approaches the isomorphism problem for Coxeter groups.In the first part we develop some results for gated chamber complexes, which are motivated by the fact that Coxeter complexes and buildings also satisfy the property of being gated; i. e. all residues are gated sets. Our work continues some of the results in Mühlherrs dissertation, who examined spherical complexes in particular. We describe a reducibility type for firm gated chamber complexes and prove that segments in such complexes are already convex. Furthermore we generalise a technical result from the work of Mühlherr, Petersson and Weiss about descent in buildings to gated chamber complexes admitting an apartment system.The second part describes the foundations to handle hyperplane arrangements which decompose an open convex cone simplicially. This concept arises implicitly in some references in the literature, but we want to present it in a self-contained form. This yields the foundation for the correspondence between such arrangements, which in addition admit a crystallographic root system, and Cartan graphs admitting a real root system. This correspondence has already been shown for spherical arrangements by Cuntz. While it is not too hard to assign a Cartan graph to a crystallographic hyperplane arrangement, the other direction is more demanding. In particular it involves the reconstruction of the open convex cone from the given Cartan graph.Furthermore we describe some standard constructions, which are well known in the case of finite hyperplane arrangements. In particular, we describe subarrangements and induced arrangements.In the third part we study the isomorphism problem for Coxeter groups. For this decision problem Mühlherr conjectured a complete solution, the twist conjecture. In the right-angled case, Mühlherr used the reduction of distances of a Coxeter generating set within the Cayley graph to prove the conjecture. The conjecture has also been proven in several further cases. These cases either exclude Twists of a rank 2 or greater, or circumvent these by other methods.We were able to show the Twist conjecture for a new class of Coxeter groups, which do not contain certain rank 3 subdiagrams, including the rank 3 spherical and affine ones. With these technical conditions we are able to control rotation twists, which behave critically when reducing distances. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Kammerkomplexen mit der Projektionseigenschaft, welche man als Verallgemeinerung des Gebäude-Begriffs von Tits ansehen kann, mit Hyperebenenarrangements, die sich ähnlich wie Spiegelungsarrangements verhalten, sowie mit dem Isomorphieproblem für Coxetergruppen.Im ersten Teil formulieren wir einige Resultate für Kammerkomplexe, die die Projektionseigenschaft erfüllen. Die Motivation hierfür rührt daraus, dass Coxeterkomplexe und Gebäude diese Eigenschaft ebenfalls erfüllen. Unsere Arbeit knüpft in diesem Teil an die Dissertation von Mühlherr an, welcher insbesondere sphärische Komplexe untersucht hat. Wir beschreiben den Reduzibilitätstyp für solide Komplexe und weisen nach, dass Segmente in solchen Komplexen bereits konvex sind. Desweiteren verallgemeinern wir einige technische Aussagen einer aktuellen Arbeit von Mühlherr, Petersson und Weiss über den Abstieg in Gebäuden auf Kammerkomplexe, welche die Projektionseigenschaft erfüllen und ein Apartmentsystem zulassen. Der zweite Teil legt die Grundlagen zur Behandlung von Hyperebenenarrangements, die einen offenen konvexen Kegel simplizial zerlegen. Diese Konzept taucht in der Literatur häufiger implizit auf, wir wollen dies jedoch in einer möglichst geschlossenen Form präsentieren. Dies liefert die Grundlage für die Korrespondenz zwischen solchen Arrangements, die zusätzlich ein kristallographisches Wurzelsystem besitzen, und Cartan-Graphen, die ein reelles Wurzelsystem zulassen. Diese Korrespondenz ist bereits für sphärische Arrangements von Cuntz gezeigt worden. Während es nicht sehr schwierig ist, aus einem kristallographischen Arrangement den entsprechenden Cartan-Graphen zu konstruieren, erweist sich die andere Richtung als technisch aufwändiger. Insbesondere muss aus einem gegebenen Cartan-Graph der entspechende Kegel rekonstruiert werden.Weiterhin beschreiben wir einige Standard-Konstruktionen, welche für endliche Hyperebenenarrangements schon bekannt sind, für den allgemeineren Fall. Konkret geben wir die Konstruktion von Unterarrangements und induzierten Arrangements an.Der dritte Teil behandelt das Isomorphieproblem für Coxetergruppen. Für dieses Entscheidungsproblem wurde von Mühlherr die Twist-Vermutung formuliert, welche eine vollständige Lösung des Problems liefern würde. Ein Verfahren, um die Twist-Vermutung zu beweisen, welches zuerst von Mühlherr im rechtwinkligen Fall angewendet wurde, beruht auf der Reduktion der Distanzen eines Coxeter-erzeugenden Systems im Cayley-Graph. Die Twist-Vermutung wurde in einigen weiteren Fällen ebenfalls bewiesen. Diese Fälle schließen insgesamt Twists aus, die einen Rang größer gleich 2 haben, oder umgehen diesen Fall durch andere Methoden. Wir konnten die Twist-Vermutung für eine weitere Klasse von Coxetergruppen beweisen, hierfür müssen wir einige Rang 3 Unterdiagramme ausschließen, insbesondere die sphärischen und affinen Rang 3 Diagramme. Unter dieser technischen Voraussetzung sind wir in der Lage, auch Drehtwists zu kontrollieren, welche sich kritisch bei der Distanzreduktion verhalten.