Vergleichsmethoden und Hyperbolizität für periodische Orbits bei positiver, verzögerter Rückkopplung

Abstract

Wir betrachten ein Modell einer verzögerten, positiven und monotonen Rückkopplung mit spontaner Dämpfung, das durch eine Delay-Differentialgleichung gegeben ist; nach einer Skalierung der Zeit erhalten wir eine Zeitverzögerung von 1. Solche Gleichungen treten bei der Modellierung neuronaler Netze auf, insbesondere ist eine Beschreibung einzelner Neuronen bzw. Netze synchronisierter Neuronen möglich. Die Untersuchung von periodischen Lösungen solcher Gleichungen ist von besonderem Interesse, u.a. für die Identifikation des globalen Attraktors im Phasenraum C der auf [-1,0] stetigen reellen Funktionen. Ein Eindeutigkeitsbeweis für periodische Lösungen mit Periode zwischen 1 und 2, d.h. die Orbit-Eindeutigkeit in C, ist ein wichtiger Teilaspekt bei der Attraktorfindung. Im ersten Teil der Arbeit beweisen wir Eindeutigkeitsresultate, indem wir eine auf Nussbaum zurückgehende Methode benutzen, die das Problem von C in die reelle Ebene verlagert. Im zweiten Teil der Arbeit vereinfachen wir die Dynamik der Gleichung in der Nähe einer gegebenen speziellen symmetrischen Lösung x, welche existiert, wenn der Rückkopplungsmechanismus symmetrisch ist: Eine Kombination einer Arbeit von Walther mit neueren Ergebnissen von Krisztin, Walther und Wu ermöglichen den Beweis der Hyperbolizität von x, d.h. kein Floquet-Multiplikator von x ausser 1 darf auf dem komplexen Einheitskreis liegen, wobei 1 einfach ist. We consider a delay differential equation which models a system governed by delayed positive monotone feedback and instantanous damping; by scaling the time we obtain a time-delay of 1. Applications can be found in neural network theory, e.g. the description of a single neuron or networks of synchronized neurons. In particular we are interested in rapidly oscillating periodic solutions, especially the ones with period between 1 and 2, because they determine sets in the phase space C of real continous functions on the interval [-1,0] which are candidates for the global attractor. The identification of the global attractor is, among others, connected with orbit-uniqueness in C of the periodic solutions mentioned above. In the first part of the work we obtain uniqueness results using a technique which goes back to Nussbaum and reduces the problem from C to the real plane. Furthermore in the second part of the work we simplify the dynamic of the equation without damping near a given special symmetric solution x which exists on the assuption that the feedback mechanism is symmetric: We combine a work from Walther with recent results from Krisztin, Walther & Wu to prove the hyperbolicity of x i.e. to exclude locations of the Floquet multipliers of x on the unit circle in the complex plane - except 1 which has to be a single one.