Loading…
In der vorliegenden Arbeit werden effiziente Implementierungen von Modellreduktionsverfahren für lineare, zeitinvariante Kontrollsysteme entwickelt. Modellreduktion spielt eine wichtige Rolle in der Simulation, Kontrolle und Optimierung von komplexen, dynamischen Systemen, wie sie bei der Modellierung vieler physikalischer Prozesse und bei der Ortsdiskretisierung parabolischer Differentialgleichungen auftreten. Wird die Finite-Elemente-Methode (FEM) zur Ortsdiskretisierung einer partiellen Differentialgleichung benutzt, besteht das resultierende System gewöhnlicher Differentialgleichungen typischerweise aus vielen Gleichungen, die dazugehörigen Matrizen sind schwachbesetzt. Wird allerdings die Randelementmethode (BEM) angewendet, sind die entstehenden Systeme groß und vollbesetzt. Diese Problemklasse kann in einem sogenannten "quasi-dünnbesetzten“ Matrixformat, den hierarchischen (H) Matrizen, approximiert werden. Um die Problemgröße von linearen, zeitinvarianten Systemen zu reduzieren, wird sehr häufig das Verfahren des balancierten Abschneidens eingesetzt. Bei dieser Methode führt ein systemtheoretischer Hintergrund zu günstigen Eigenschaften im reduzierten System, so bleibt die Stabilität des Systems erhalten, und es existiert eine globale, berechenbare Fehlerschranke. Ein wesentlicher Nachteil der Methode ist der große Rechenaufwand, verursacht durch das Lösen zweier Lyapunovgleichungen bei kontinuierlichen Systemen und zweier Steingleichungen bei diskreten Systemen. In den letzten Jahren wurden viele effiziente Verfahren zur Lösung dieser Matrixgleichungen entwickelt. Die meisten sind besonders für schwachbesetzte Matrizen geeignet und berechnen Niedrigrangfaktoren der Lösungen. Allerdings ist der Rechenaufwand der Methoden kubisch, wenn sie auf große, vollbesetzte Systeme angewandt werden, und der Speicherbedarf wächst quadratisch. In dieser Arbeit wird der Rechenaufwand und der Speicherbedarf der Algorithmen zur Lösung von Matrixgleichungen für große, quasi-dünnbesetzte Systeme reduziert. Für diese, in vielen Anwendungen auftretende Problemklasse, werden effiziente Algorithmen zur Lösung von Sylvester-, Lyapunov- und algebraischen Bernoulligleichungen auf Basis der Matrix-Signumfunktionsmethode, zur Lösung von Steingleichungen mit der quadrierten Smith-Iteration, entwickelt. Durch das Ersetzen der Matrixinversion, der Addition und der Multiplikation durch approximative Arithmetik für hierarchische Matrizen erhalten wir Algorithmen mit linear-polylogarithmischer Komplexität. Die Verfahren sind somit auf Systeme großer Ordnung anwendbar, in denen die Koeffizientenmatrix vollbesetzt sein darf, solange sie als H-Matrix approximiert werden kann. Alle Methoden berechnen approximative Niedrigrangfaktoren der Lösungen der Matrixgleichungen. Aufbauend auf den entwickelten Methoden zur Lösung großer Matrixgleichungen werden effiziente Implementierungen verschiedener Modellreduktionsverfahren vorgeschlagen. Neben dem approximativen balancierten Abschneiden, welches gute Approximationseigenschaften für große Frequenzen besitzt, wird die singuläre Störungsapproximationsmethode (SPA) modifiziert, die den stationären Zustand des Systems gut approximiert. Ein modifizierter Cross-Gramian Ansatz berechnet auf Basis der Lösung einer Sylvestergleichung reduzierte Systeme für symmetrische Systeme und für Systeme mit skalarem Ein- und Ausgang. Der Fehler ist vergleichbar klein zum approximativen balancierten Abschneiden. Weiterhin wird ein Ansatz zur Modellreduktion von instabilen Systemen behandelt, der auf einem Löser für algebraische Bernoulligleichungen und dem Löser für Lyapunovgleichungen basiert. Die Methoden werden erfolgreich auf Systeme resultierend aus FEM- und BEM-Diskretisierungen von zwei- und dreidimensionalen partiellen Differentialgleichungen der Größenordnung O(10^5) angewendet. Beachtenswert hierbei ist, dass die Anwendung des balancierten Abschneidens auf vollbesetzte Systeme dieser Größenordnung nur durch den Gebrauch des speziellen quasi-dünnbesetzten Matrixformates und der dazugehörigen approximativen Arithmetik möglich wird. Theoretisch und anhand der numerischen Beispiele wird die Beschränktheit des durch die H-Matrix Approximation eingeführten Fehlers zwischen Originalsystem und dem System reduzierter Ordnung gezeigt. Alle Methoden reduzieren die Dimension des Systems beträchtlich und halten dabei eine kleine Fehlertoleranz ein. Eine stark reduzierte Problemgröße kann vorteilhaft in linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblemen mit Ungleichheitsnebenbedingungen an die Steuerung ausgenutzt werden. Die üblicherweise sehr große Dimension des analogen diskreten quadratischen Problems wird durch Reduktion der Dimension der zu Grunde liegenden PDE signifikant reduziert. Dadurch kann Standardsoftware zur Lösung des Optimalsteuerungsproblems eingesetzt werden. Gedruckte Version im Verlag erschienen: ISBN 978-3639074178 im Vdm Verlag Dr. Müller
In the present work, the efficient implementation of model order reduction methods for linear, time-invariant control systems is investigated. Model reduction is common in simulation, control and optimization of complex dynamical systems arising in modeling of physical processes and in the spatial discretization of parabolic partial differential equations (PDEs) in three or more dimensions. If the finite element method (FEM) is used for the spatial discretization of PDEs, then the resulting system matrices are typically large and sparse; if the boundary element method (BEM) is applied, then the matrices are fully populated but often allow for a data-sparse representation. A suitable data-sparse matrix format for this problem class is provided by the hierarchical (H) matrix format. In systems theory and control of ordinary or partial differential equations, balanced truncation and related methods are very popular in model order reduction since they have some desirable properties: they preserve the stability of the system and provide a global computable error bound. The major drawback of balanced truncation is the high computational complexity caused by the solution of two Lyapunov equations for continuous-time systems and of two Stein equations for discrete-time systems. Several approaches to the solution of large-scale matrix equations were derived in the last two decades. Some of them are suitable for large-scale, sparse systems and especially adapted for the purpose of model order reduction as they exploit the typical low-rank property of the solution by computing approximate low-rank solution factors. However, these methods are of cubic complexity when applied to dense problems. In this work, the complexity and the storage requirements of several solvers for matrix equations are reduced for the practically relevant class of data-sparse systems. For the numerical solution of Sylvester, Lyapunov and algebraic Bernoulli equations the sign function method is employed; for Stein equations the squared Smith iteration is considered. Replacing the usual matrix inversion, addition and multiplication by formatted arithmetic for hierarchical matrices, implementations with linear-polylogarithmic complexity and memory requirements are obtained. Efficient implementations of balancing-related model reduction methods based on these data-sparse solvers are developed. Besides an approximate balanced truncation method, an implementation of singular perturbation approximation is described and a method based on approximate low-rank factors of the cross-Gramian is proposed. Moreover, an approach for model order reduction of unstable systems based on the data-sparse solution of algebraic Bernoulli equations and of Lyapunov equations is derived. The methods are successfully applied on systems of order O(10^5) coming from FEM and BEM discretizations of two- and three-dimensional parabolic PDEs also including varying diffusion coefficients or convective terms. Note that the application of balanced truncation on dense systems of this size is only feasible if the data-sparse format and the corresponding formatted arithmetic is invoked. It is shown, both theoretically and in the numerical experiments, that the error between the original and the reduced-order system introduced by using the H-matrix format is bounded. All methods significantly reduce the dimension of the systems, while satisfying a very small error tolerance. A very small dimension can be exploited in linear-quadratic optimal control problems where inequality constraints for the control are given. The typically very large dimension of the corresponding discrete quadratic programming problem is significantly reduced if the underlying PDE dimension is reduced by the approximate balanced truncation method. Thus, standard optimization software can be applied for the solution of the optimal control problem.
- parallel erschienen im VDM Verlag Dr. Müller unter der ISBN 978-3639074178.
