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Contributions to the control of hybrid and switched linear systems
Kouhi Anbaran, Yashar
Hybride lineare Systeme sind eine Klasse von hybriden Systemen, bei denen die kontinuierliche Zeitentwicklung durch einen Satz von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, und die Sprungdynamik durch einen Satz von linearen Differenzengleichungen erster Ordnung beschrieben werden. Geschaltete lineare Systeme sind eine Unterklasse von hybriden linearen Systemen mit einer stetigen Zeitentwicklung der Systemzustände. Aufgrund der großen Anzahl physikalischer Anwendungen erfuhr die Regelung von hybriden und geschalteten linearen Systemen in den letzten Jahren beträchtliche Aufmerksamkeit. Diese Dissertation stellt neue Beiträge zur Regelung solcher Systeme vor und erweitert einige vorhandene Ergebnisse in diesem Bereich. Diese Arbeit konzentriert sich auf verschiedene Aspekte der Stabilität und Stabilisierung geschalteter linearer Systeme sowie der optimalen Regelung hybrider linearer Systeme.
Der größte Teil dieser Arbeit betrifft die Stabilität und Stabilisierung von geschalteten linearen Systemen. Die Darstellung der Ergebnisse bezieht sich in erster Linie auf Bedingungen für die Stabilität autonomer geschalteter linearer Systeme. Stabilisierungsverfahren zielen dann auf den Entwurf einer lokalen Zustandsrückführung für jeden Modus eines geregelten geschalteten linearen Systems, um die Stabilitätskriterien für die Modi des geschlossenen Regelkreises zu befriedigen. Teile dieser Ergebnisse beruhen auf dem Konzept gemeinsamer linker Eigenvektoren und der Zuweisung linker Eigenstruktur. Zu diesem Zweck werden mehrere Verfahren zur Zuweisung der Eigenstruktur von linearen Systemen entwickelt. Anschließend werden diese Techniken zur Charakterisierung exponentieller Stabilität und zur Stabilisierung einer Klasse von geschalteten linearen Systemen mit zustandsabhängigem Schalten unter bestimmten Einschränkungen bezüglich der Schaltmannigfaltigkeiten eingesetzt. Darüber hinaus werden sie zur quadratischen Stabilisierung einer Klasse von beliebig schaltenden linearen Systemen eingesetzt, in der die Dynamikmatrizen des offenen Kreises einen invarianten Untervektorraum gemeinsam haben, der mit einer gemeinsamen quadratischen Lyapunov-Funktion assoziiert werden kann. Ein weiterer Stabilitätsansatz nutzt das Kalman-Yakubovic-Popov-Lemma, um quadratische Stabilität einer Klasse von geschalteten linearen Systemen zu zeigen. Diese Klasse wird von beliebigem Schalten zwischen zwei Modi gekennzeichnet, für welche die Differenz der Dynamikmatrizen von Rang $m \geq 1$ ist, und mit denen eine symmetrische Übertragungsfunktionsmatrix assoziiert werden kann. Diese Ergebnisse erweitern vorhandene Ergebnisse zur quadratischen Stabilität geschalteter linearer Systeme, bei denen die Differenz der Dynamikmatrizen Rang 1 aufweist.
Die Dissertation befasst sich auch mit der linear quadratischen Regelung von hybriden linearen Systemen. Hierbei sind die Kostenfunktionen quadratisch, der Zeithorizont und die Anzahl und Reihenfolge des Schaltens gegeben. Einschränkungen sind durch lineare (Un-) Gleichungen im Zustandsraum gegeben. Die Zeitpunkte des Schaltens zwischen unterschiedlichen Dynamiken können entweder vorgegeben oder frei sein. Ein Parametrierungsverfahren in Bezug auf Ausgangs- und Endpunkte der einzelnen Intervalle eines generalisierten Zeitbereichs wird verwendet. Numerische Lösungen werden für solche Aufgaben vorgeschlagen.
Hybrid linear systems are a class of hybrid systems where the continuous time evolution is governed by a set of first order linear ordinary differential equations and the jump dynamics are described by a set of first order linear difference equations. Switched linear systems are a subclass of hybrid linear systems with a continuous evolution of the system states. Due to the large number of physical applications, control of hybrid and switched linear systems has received considerable attention over the past years. This dissertation provides novel contributions to the control of such systems and extends some existing results in this area. This work focuses on different problems regarding stability and stabilization of switched linear systems and optimal control of hybrid linear systems.
The major part of this thesis concerns stability and stabilization of switched linear systems. The results are primarily presented in terms of conditions for stability of autonomous switched systems. Then, stabilization methods aim at designing a local state feedback for each mode of a controlled switched system to satisfy the stability criteria for the closed loop system modes. Parts of these results rely on the concept of common left eigenvectors and left eigenstructure assignment. To this end, several techniques for eigenstructure assignment in the context of linear systems are developed. Afterwards, these techniques are employed for characterizing exponential stability and for stabilization of a class of switched linear systems with state dependent switching and certain restrictions on the switching manifolds. In addition, they are used for quadratic stabilization of a class of controlled switched linear systems with arbitrary switching signals where the open loop constituent matrices share an invariant subspace to which a common quadratic Lyapunov function can be associated. Another stability approach makes use of the Kalman-Yakubovic-Popov lemma to demonstrate quadratic stability of a class of switched linear systems. This class is characterized by arbitrary switching between two modes, where the difference of the constitute matrices is of rank $m\geq 1$, and to which a symmetric transfer function matrix can be associated. These results extend existing results in quadratic stability of rank-1 difference switched linear systems.
The thesis also addresses problems in linear quadratic control of hybrid linear systems. In these problems, cost functions are quadratic, the final time and the number and sequence of switches are given. Constraints are specified by linear (in-)equalities in the state space. Switching between different dynamics may either occur at fixed or free time instances. A parameterization method with respect to initial and end points of each interval in a generalized time domain is employed. Numerical solutions for such problems are suggested.
