The adiabatic limit of Schrödinger operators on fibre bundles

Abstract

This thesis studies Schrödinger operators on a fibre bundle with compact fibres and a metric that blows up directions perpendicular to the fibres by a factor 1/epsilon.

In the first part it is shown that an eigenvalue of the fibre-wise part of the operator, satisfying a local gap condition, there exists a subspace of L^2(M) that is invariant up to errors of any power of epsilon. The dynamical and spectral features of the Schrödinger operator on this subspace can be described by an effective operator on the fibre-wise eigenspace bundle, giving detailed asymptotics for the original problem.

In the second part the general results are applied to embeddings of such fibre bundles, yielding generalisations of quantum waveguides. Additionally, asymptotic estimates of eigenfunctions are proved and the relation of the geometry of nodal sets on the base and the total space is studied. In particular the nodal set of the second eigenfunction is shown to touch the boundary for many fibred manifolds.

In dieser Dissertation werden Schrödingeroperatoren auf einem Faserbündel, mit kompakten Fasern und einer Metrik welche die Richtungen orthogonal zu den Fasern mit einem Faktor 1/Epsilon aufbläst, behandelt.

Im ersten Teil wird gezeigt, dass für einen Eigenwert des Faseroperators, der eine lokale spektrale Lücke hat, ein Unterraum von L^2(M) existiert, der invariant ist bis auf Fehler von der Größenordnung einer beliebigen Potenz von Epsilon ist. Sowohl die Dynamik als auch das Spektrum des Schrödingeroperators auf diesem Unterraum können durch einen effektiven Operator auf dem Vektorbündel der faserweisen Eigenräume beschrieben werden. Dies ermöglicht eine detailierte, asymptotische Beschreibung des ursprünglichen Operators.

Im zweiten Teil wird die allgemeine Theorie auf Einbettungen von Faserbündeln angewendet, was die Verallgemeinerung des bekannten Konzeptes eines Quantenwellenleiters ermöglicht. Zudem werden asymptotische Abschätzungen an die Eigenfunktionen bewiesen. Mit diesen wird der Zusammenhang der Geometrie der Knotenmengen auf der Basis und dem Totalraum untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass die Knotenmenge der zweiten Eigenfunktion auf vielen gefaserten Mannigfaltigkeiten den Rand schneidet.