In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der
Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe
Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine
Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen,
und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie
u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr
schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov
und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer
als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung
"unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung
des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt.

Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung
(Zustandsänderung) durch die Messung
nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an:
die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent.

Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein
Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen
wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die
Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben.
Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen.
Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik,
verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes.
Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert
kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser
Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben,
die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung
näherungsweise beschreibt.
Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der
Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der
Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen
Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine
Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.

The interpretation of generalised measurements in quantum mechanics in terms of
the usual observables is in general difficult. However, for a special class of generalised measurements - the unsharp measurements (unsharp measurements can be mathematically characterised by commuting Effects and pure operations, i.e. pure states are transformed in the measurement process into pure states)- it is
comparatively easy to associate them with ordinary observables. An unsharp measurement conveys information about the associated ordinary observable, only less information then a projection measurement does.
If appropriately chosen, unsharp measurements lead also to a smaller state
change than comparable projection measurements. The magnitude of the
disturbance can be chosen continuously from no disturbance at all (corresponding to no information gain) to the disturbance caused by a projection measurement. The application of unsharp measurement is advantageous if information about a certain ordinary observable is wanted but the disturbance of the system must not exceed a certain level. This is for example the case if the Rabi oscillations of a single atom in a resonant driving field are to be monitored in real
time.
As in the case of the interpretation of the results of unsharp measurements the relationship between information gain and disturbance is simple compared to other generalised measurements.
This work is structered as follows:
Chapter 1 introduces the notions which are required for further investigations: Effects, operations, states etc.. A general description of the statistics of measurements is designed which is broad enough to comprise measurements in classical and quantum physics. Once the state space is determined the structure of generalised measurements emerge from the rules of probability theory. There are static rules (Kolmogorov's axioms) which lead to positive operator-valued measures and a dynamic law (Bayes theorem) which determines the state change up to a unitary development.
In chapter 2 unsharp measurements are studied. The questions of
what are unsharp measurements and what quantity do they measure are addressed. The relation to Busch's unsharp observables and Aharonov's and Vaidman's weak measurement is described. The statistics of a sequence of unsharp
measurements carried out on a single qubit is compared to the statistics of a
repetition of measurements on an ensemble of qubits. The state change of
unsharp measurements on a qubit is interpreted geometrically on the Bloch
sphere. The realisation of unsharp measurements within the standard model of
measurement is studied. Eventually the relation between information gain and
disturbance is investigated.
Chapter 3 contains the design of a scheme to track the Rabi oscillations of a two-level system by a sequence of unsharp measurements. In chapter 4 a quantum optical experiment is proposed to realize this measurement scheme.
Chapter 5 eventually shows how a sequence of unsharp measurement with unitary back-action can influence the dynamics of qubits. Also the limit of a continuous measurement is discussed.