Isogeometrische Modellierung und Diskretisierung von Kontaktproblemen

Abstract

Die isogeometrische Finite-Elemente-Analyse (IGA) bietet im Gegensatz zur klassischen Finite-Elemente-Methode (FEM) die Möglichkeit das Strukturproblem auf der exakten Geometrie zu lösen. Durch die hohe Kontinuität der Geometriebasis können Oberflächen glatt beschrieben werden, was eine stabile Formulierung von Kontaktgleichungen zwischen den Körpern erlaubt. Die Entwicklung und Bewertung von Kontaktalgorithmen auf Basis des isogeometrischen Konzepts ist Inhalt der vorliegenden Arbeit.

Die Kontaktbedingungen werden oberflächenorientiert beschrieben und mithilfe der Lagrange-Multiplikator-Methode in der normalen und mithilfe der Penalty-Methode in der tangentialen Richtung in Form einer Nebenbedingung der schwachen Form des Gleichgewichts hinzugefügt. Das Kontaktintegral wird anschließend durch eine Summe über Auswertungspunkte numerisch angenähert. Die Diskussion über die Wahl dieser Auswertungspunkte stellt den Kern dieser Arbeit dar. Dazu wird eine Kontaktformulierung in drei Varianten entwickelt, welche die Kontaktbedingungen entweder kollokieren, gewichtet kollokieren oder integrieren. Die Ergebnisqualität der drei Varianten wird bezüglich der Deformation, der Kontaktspannung, der Berechnungszeit und dem Verhalten bei großen tangentialen Relativverschiebungen unter Einbezug von Reibung bewertet.

Zur Betrachtung dynamischer Fragestellungen wird eine modifizierte Diskretisierung in Raum und Zeit vorgeschlagen. Die implizite Zeitintegration erfolgt mithilfe eines dissipativ modifizierten Newmark-Verfahrens. Die oszillierenden Kontaktkräfte, die aufgrund oszillierender Trägheitskräfte entstehen, werden durch Umverteilung der Randformfunktionen in der Kontaktzone beseitigt.

The isogeometric finite element analysis (IGA) provides in contrast to the classical finite element method (FEM) the ability to solve structural problems on the exact geometry. Due to the high continuity of the geometry basis surfaces can be described smoothly, allowing a stable formulation of the contact equations between the bodies. The development and evaluation of contact algorithms based on the isogeometric concept is the content of this work.

The contact conditions are described surface oriented and are added to the weak form of the equilibrium in terms of a constraint condition using the Lagrange multiplier method in normal and the penalty method in tangential direction. The contact integral is then approximated numerically by a sum of evaluation points. The discussion about the choice of these evaluation points is the core of this work. For this purpose, a contact formulation is developed in three variants which either collocate, collocate with weighting or integrate the contact conditions. The quality of results of the three variants are evaluated with respect to the deformation, the contact stresses, the calculation time and the behavior in large sliding with inclusion of friction.

For dynamic problems a modified discretization in space and time is proposed. The implicit time integration is done on the bases of a modified dissipative Newmark method. The oscillating contact forces resulting from oscillating inertial forces are eliminated by redistributing edge shape functions in the contact zone.