Concentrated patterns in biological systems

Abstract

We study pattern formation for reaction-diffusion systems of mathematical biology in the case of the Gierer-Meinhardt system.

In this thesis we show that there is a critical growth rate of the inhibitor such that the position of boundary spikes is given by a linear combination of the boundary curvature and a Green function.

There are two main results.

The first one concerns the existence of boundary spikes for the activator. It says that the solutions are such that in the neighborhood of a boundary point for which the linear combination mentioned above possesses a nondegenerate critical point in tangential direction there is a spike (i.e. a peak whose spatial extension contracts but which after rescaling has a limit profile). Outside this boundary point the solutions are constant in first approximation.

The proof uses Liapunov-Schmidt reduction, fixed point theorems and asymptotic analysis.

The second main result concerns stability and says that the stability of this boundary spike depends on the parameters of the system.

We assume that the linear combination from above possesses a nondegenerate local maximum at that boundary point. Then the stability depends on the size of a time relaxation constant. The proof studies small eigenvalues (i.e. they converge to zero) using asymptotic analysis. These small eigenvalue are connected with the second tangential derivatives of this linear combination. Large eigenvalues are explored using nonlocal eigenvalue problems.

Wir untersuchen Musterbildung für Reaktions-Diffusions-Systeme der mathematischen Biologie am Beispiel des Gierer-Meinhardt-Systems.

In dieser Arbeit weisen wir nach, dass es eine kritische Wachstumsrate für den Inhibitor gibt, so dass die Position von Randspikes durch eine Linearkombination der Krümmung des Randes und einer Greenschen Funktion bestimmt ist.

Die Arbeit enthält zwei Hauptresultate.

Das erste Hauptresultat betrifft die Existenz von Randspikes für den Aktivator. Es besagt, dass diese Lösungen in der Nähe eines Randpunkts, für den die oben genannte Linearkombination einen nichtdegenerierten kritischen Punkt bezüglich der Tangentialrichtung besitzt, einen Spike aufweisen (das ist ein Peak, der räumlich immer mehr zusammenschrumpft, aber nach Reskalierung ein Grenzprofil besitzt). Ausserhalb dieses Randpunkts sind die Lösungen in erster Näherung konstant.

Der Beweis benutzt die Liapunov-Schmidt-Reduktion, Fixpunktsätze und asymptotische Analysis.

Das zweite Hauptresultat über Stabilität zeigt, dass die Stabilität dieses Randspikes von den Systemparametern abhängt. Es wird dabei vorausgesetzt, dass die oben genannte Linearkombination an diesem Randpunkt sogar ein nichtdegeneriertes lokales Maximum besitzt. Dann hängt die Stabilität von einer Zeitrelaxationskonstante ab. Der Beweis untersucht kleine (d.h. gegen Null konvergierende) Eigenwerte mit asymptotischer Analysis. Diese stehen mit der zweiten Tangentialableitung der oben genannten Linearkombination in Verbindung. Grosse Eigenwerte werden mit nichtlokalen Eigenwertproblemen studiert.