Finite-Volumen Verfahren hoher Ordnung und heterogene Gebietszerlegung für die numerische Aeroakustik

Abstract

In der Akustik werden im Allgemeinen große Gebiete untersucht, bei denen in einzelnen Bereichen sehr unterschiedliche physikalische Phänomene relevant sind. Die Strömungsvorgänge laufen auf kleinen räumliche Skalen ab, die akustischen dagegen auf großen räumlichen Skalen. Daher werden bei den klassischen Methoden, wie akustische Analogie und Störansatz, das Strömungsfeld und das Akustikfeld getrennt voneinander berechnet und über Quellterme miteinander verbunden. Dabei sind die Quellterme keinesfalls eindeutig bestimmt, und die Rückwirkung der Akustik auf die Strömung wird nicht berücksichtigt. In dieser Arbeit wird ein Ansatz vorgestellt, der dieses Problem umgeht. Dazu werden verschiedene Teilgebiete verwendet, in denen die Gleichungen, die Gitter- und die Zeitschrittweiten, der Gittertyp und die numerischen Verfahren frei gewählt und an die lokal relevanten Phänomene angepasst werden können. Dies wird als heterogene Gebietszerlegung bezeichnet. Damit wird es ermöglicht, eine direkte Simulation von Problemen der numerischen Aeroakustik durchzuführen. Dies bedeutet, dass in allen Gebieten die Strömungsphänomene und die Akustik berechnet werden. Es wird gezeigt, wie die Kopplung an den Gebietsgrenzen vorgenommen werden muss, um eine Methode zu erhalten, welche im Gesamten zeitgenau und hoher Ordnung ist. Die größte Rechenzeitersparnis wird dadurch erreicht, dass es mit der hier vorgestellten Methode nicht nur möglich ist, unterschiedlich grobe Gitter zu verwenden, sondern ebenfalls den Zeitschritt in den einzelnen Gebieten zu variieren. Diese Kopplung hoher Ordnung wird anhand einer Konvergenzuntersuchung nachgewiesen, bei der eine Konvergenz mit 9. Ordnung in Raum und Zeit erzielt wird. Als praktische Beispiele werden daraufhin das rotierende Wirbelpaar und die Akustik, erzeugt von einem in einer wirbelbehafteten Anströmung liegenden Profil (Vorderkantenlärm), berechnet und mit Lösungen aus der Literatur verglichen. In der numerischen Aeroakustik, wie sie hier vorgestellt wird, ist es essentiell, überall Verfahren hoher Ordnung zu verwenden, um so möglichst wenig numerische Viskosität und Dispersion einzuführen. Die noch relativ neuen ADER Verfahren aus der Klasse der Finiten-Volumen Verfahren haben hervorragende Wellentransporteigenschaften und lassen sich darüber hinaus mit beliebiger Genauigkeit implementieren, so dass die uniforme Ordnung in Raum und Zeit der einzige freie Parameter ist. Die Verfahren setzen sich im Wesentlichen aus den folgenden drei Elementen zusammen: 1. Rekonstruktion hoher Ordnung der Zustände an den Zellgrenzen aus den Zellmittelwerten, 2. Lösen von verallgemeinerten Riemannproblemen, auch für die Ableitungen und 3. der Verwendung der Lax-Wendroff Prozedur, um Zeitableitungen durch Raumableitungen zu ersetzen. Es werden alle Bausteine vorgestellt, die notwendig sind, um diese Verfahren mit beliebiger Ordnung für lineare und nichtlineare hyperbolische partielle Differentialgleichungssyteme zu implementieren. Dazu gehört auch die algorithmische Umsetzung der Lax-Wendroff Prozedur für die nichtlinearen Euler Gleichungen. Daran anschließend werden Stabiliät, Konvergenz und Wellentransporteigenschaften der Verfahren für lineare und nichtlineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen in zwei Raumdimensionen untersucht. Bemerkenswert ist dabei, dass die Stabilität der Verfahren mit zunehmender Genauigkeit ebenfalls zunimmt. Um Oszillationen an Stößen oder starken Gradienten zu vermeiden, wird die Essentially Non Oscillatory Idee eingeführt und die Probleme dieser Methode ausführlich diskutiert. Weiter wird für die ADER Verfahren für lineare Systeme gezeigt, wie diese erheblich beschleunigt werden können, so dass am Ende die ADER Verfahren 12. Ordnung ebenso schnell sind, wie ein Finite-Differenzen Verfahren 6. Ordnung mit Runge-Kutta Zeitintegration 4. Ordnung. Bei der Herleitung der ADER Verfahren für die nichtlinearen Gleichungen gelangt man zu zwei verschiedenen Verfahren, den ADER flux expansion Verfahren und den ADER state expansion Verfahren. Anhand eines Beispiels werden die beiden Varianten miteinander bezüglich Genauigkeit und Rechenzeit verglichen.

In the field of areoacoustics large domains are investigated. These domains can be divided into several regions where different physical effects are relevant. Aeroacoustics is a multi-scale problem: the flow field effects are on a very small scale and the acoustical effects on a very large spatial scale. In the classical methods, such as acoustical analogy or perturbation method, the acoustical field and flow field are linked by source terms but calculated separately. These source terms are not unique and there is no backward coupling from the acoustical field to the flow field. In this work a new approach is presented that circumvents these problems. The large domain is split into a set of sub-domains where different equations, grid types, numerical methods, grid- and time-spacings can be used. So the settings of each sub-domain can be adapted to the local relevant features. This method is called heterogenous domain decomposition. It enables a direct simulation of aeroacoustical problems. This means that in all domains the flow field plus the acoustical field is calculated. It is demonstrated how these domains must be linked at the interfaces to obtain a method that has an overall high order convergence rate and is time accurate. The largest gain in computational efficiency is obtained not only by using different grid sizes but also by using different timesteps in each sub-domain. To verify the high order coupling a convergence rate study for an overall accuracy of 9 in space and time is presented. As numerical examples the acoustical field of a co-rotating vortex pair and the sound emitted by the profile gust response problem are calculated and compared to solutions from the literature. For the computational aeroacoustics as proposed here, it is essential to use high order methods everywhere because these methods have low numerical dispersion and dissipation. The relatively new ADER schemes (Finite-Volume class) have excellent wave transportation properties and can be implemented in a way that the uniform order of accuracy in space and time is the only parameter and is arbitrary. These schemes are essentially set up by the following three elements: high order reconstruction of local values at the cell interface from the given cell averages, solution of a generalized Riemann problem for the state and its derivatives and a Lax-Wendroff procedure which replaces time derivatives by spatial derivatives. All necessary elements to set up the method at arbitrary order of accuracy for a linear or nonlinear system of hyperbolic partial differential equations are given. This includes an algorithm for the Lax-Wendroff procedure for the nonlinear system of the Euler equations. For the methods a detailed study concerning stability, numerical convergence and wave transportation properties in two space dimensions is given. It is noteworthy that the stability increases, if the order of accuracy is increased. To suppress spurious oscillations around shocks or large gradients the well known Essentially Non Oscillatory idea is introduced and the problems of this method are discussed extensively. Furthermore a method to dramatically decrease the computational effort for linear systems is described. This leads at the end to a method where the 12th order ADER scheme is as fast as a 6th order finite-difference scheme with 4th order Runge-Kutta time integration. The derivation of the ADER method for nonlinear systems leads to two possible versions: the flux-expansion method and the state-expansion method. Both variants are compared with respect to accuracy and CPU time using a numerical example.