Adaptive modelling of compositional multi-phase flow with capillary pressure

Abstract

Many technical as well as environmental applications in the field of multi-phase flow in porous media, such as CO2 storage in the subsurface, remediation of hazardous spills in the groundwater or gaseous infiltration from nuclear storage sites into the surrounding rock, take place on a huge spatial domain and occur over large time-scales. In most cases, however, complex flow regimes occur only in small regions of the whole domain of interest. Inside these regions, the quality of simulations benefits from highly resolved grids and from an in-depth description of the physics involved. Outside, in contrast, the grid can remain coarse and the relevant processes are already captured by a simpler model abstraction.

To simulate such processes, numerical models have to be developed that mimic the relevant system properties and characteristics of flow. In this work, the sequential solution scheme is shown to be an efficient alternative to fully implicit formulations for compressible, compositional multi-phase systems; it even considers the often neglected gravitational effects and capillary pressure. An extension for non-isothermal flow is presented as well. Some numerical obstacles have to be mastered to model these numerically challenging systems in an efficient manner, avoiding costly iteration of the global solution.

Two adaptive strategies are discussed: the multi-physics concept adapts the model complexity locally according to the underlying physical processes. Complicated physics are approached by complex models that differ from those applied in flow regimes that are simpler. The efficiency gain is flanked by the qualitative improvement to model each process not only with the fastest, but also with the most appropriate numerical model. As an example of such an adaptive modelling strategy, a large-scale CO2 injection scenario is presented. This example provides insights into the increased efficiency, as well as the decrease in modelling bias because the constraint on one numerical model per simulation is relaxed and the most appropriate available model is applied locally.

In the quest for a good global solution, the physical and thermodynamic detail employed in complicated areas should be supported by a detailed resolution of the grid. Uniform refinement a priori is again avoided in favour of dynamic adaptation, resembling the second branch of adaptivity in this work. Detail and accuracy are gained in the region of interest while the global system remains coarse enough to be solved efficiently. The modification of the simulation grid should not be an additional source of error: for the complex systems considered, this requires careful transformation of the data while modifying the grid. Indicators have to be developed that steer the dynamic adaptation of the grid. These should be tailored to the specific problem at hand. Nevertheless, the stability of the numerical formulation applied is jeopardized by the types of indicators that would cause a back-coupling of modelling errors into the refinement process. On such adaptive grids, the standard approach to computing fluxes is known to fail. An alternative method, a multi-point flux approximation, is successfully applied and the improvements investigated. The combination with the standard flux expression yields a very efficient and potent solution to modelling compositional flow on adaptive grids.

The proposed conceptual methods can only be successfully adapted if they are applicable to real problems. The large-scale simulations presented in this work are not intended to answer specific problem-related questions but to show the general applicability of the modelling concepts even for such complicated natural systems. At the same time, such large-scale real systems provide a good environment for balancing the efficiency potentials and possible weaknesses of the approaches discussed. The last example features four levels of complexity bonded together in the multi-physics setting: compositional single-phase flow with a simplified thermal approximation and under full non-isothermal consideration as well as compositional two-phase flow with and without full non-isothermal effects. Simulations are performed on an adaptively refined simulation grid.

Simulationen sind ein wertvolles Werkzeug, um komplexe Strömungsvorgänge im Untergrund zu analysieren, Entwicklungen in der Zukunft abschätzen beziehungsweise das Risiko menschlicher Eingriffe abwägen zu können. Eine beispielhafte Anwendung ist die unterirdische Speicherung von CO2, wo riesige Mengen des überkritischen Gases in den Untergrund verpresst werden, um durch eine dauerhafte Speicherung den Ausstoß des klimaschädlichen Gases in die Atmosphäre zu vermindern. Bevor im großen Maßstab mit einer Injektion begonnen wird, sind großskalige Rechnungen nötig, die nicht nur den direkten Injektionsbereich umfassen, sondern auch weiträumige Effekte abdecken können. Der weitreichende Druckanstieg, zum Beispiel, könnte das Deckgestein gefährden oder mit anderen Nutzungen des Untergrunds interferieren, oder aber durch Verdrängung des potentiell salzhaltigen oder anderweitig belasteten Wassers vorher unbelastete wasserführende Schichten gefährden. Da eine dauerhafte Speicherung anvisiert wird, muss das riesige Untersuchungsgebiet zudem über lange Zeitabschnitte hin simuliert werden. Die großen Zeit- und Längenskalen in Verbindung mit den komplizierten Vorgängen während der Injektion (Löslichkeitseffekten, zeitliche Änderung vieler Fluideigenschaften, auch hinsichtlich Temperaturschwankungen, bis zum komplizierten Zusammenspiel zwischen den Fluiden und dem Korngerüst des Gesteins) stellt die Simulation solcher Szenarien höchste Anforderungen an die Numerik. Eine Risikobewertung könnte sogar eine Vielzahl an aufwändigen Simulationen mit unterschiedlichen Eingangsdaten erfordern.

Komplizierte Modelle wurden entwickelt, die immer mehr Prozesse auflösen können, deren Umfang zur Beschreibung einfacherer Systeme aber überdimensioniert erscheinen. Denn oftmals variieren die Prozesse und damit auch der erforderliche Rechenumfang räumlich: Im erwähnten Beispiel der CO2-Speicherung sind die kompliziertesten Vorgänge dort zu beobachten, wo das CO2 mit dem Wasser in Kontakt ist, und dort baut sich auch der treibende Druckgradient auf. Eine Migration von Salzwasser ins Frischwasser ist durch den großflächigen Verdrängungsprozess aber auch in weit entlegenen Bereichen möglich, wohin kein CO2 gelangen wird und demnach damit assoziierte Prozesse irrelevant sind. Dennoch ist deren isolierte Betrachtung unmöglich, sodass beide Teilprozesse in die Berechnung einbezogen werden müssen, bestenfalls mit dem dazu passenden Modell. Ein solch flexibler Modellansatz verspricht nicht nur qualitative Vorteile durch den Einsatz eines lokal geeigneten Modells, sondern vemeidet überflüssig verschwendete Rechenzeit, indem einfache Systeme nicht mit zu komplizierten Modellen gelöst werden.

Insgesamt werden in der Arbeit zwei adaptive Strategien verfolgt: Ein Mehr-Physik–Ansatz passt die numerische Abstraktion an die lokal auftretenden physikalischen Prozesse an. Obwohl das gesamte Modellgebiet gelöst wird, wird örtlich selektiv das am besten passende Modell gewählt und zum Gesamtsystem verknüpft. Dadurch wird verhindert, dass modellbedingte Unsicherheiten auch in Gebiete durchschlagen, die durch einfachere Modelle besser gelöst werden könnten. Zudem wird überflüssiger Rechenaufwand vermieden, da die aufwändigen Teilgebiete nicht das Niveau des Gesamtsystems vorgeben.

Diese Fehler könnten durch eine feinere Gitterauflösung reduziert werden, während auf eine Verfeinerung in weniger relevanten Teilgebieten aus Effizienzgründen verzichtet werden sollte. Die dynamische Gitterverfeinerung stellt damit die zweite adaptive Strategie dar. Damit können einzelne Bereiche feiner aufgelöst werden, ohne die generelle Lösbarkeit des Gesamtsystems dadurch zu gefährden, dass sich die Gleichungssysteme durch globale Gitterverfeinerung aufblähen. Um das Gitter an die Strömung anpassen zu können, muss ein geeigneter Indikatorensatz entwickelt werden. Obwohl dieser prinzipiell problemspezifisch definiert werden muss, schließt das gewählte Lösungsverfahren einige bereits im Vorfeld aus - schließlich soll die Gitterverfeinerung keinen negativen Einfluss auf die Stabilität des Verfahrens haben. Am adaptiv verfeinerten regulären Gitter produziert die Standardmethode fehlerhafte Flüsse zwischen Zellen, was unter anderem durch Mehrpunktflussverfahren vermieden werden kann. Die Kombination beider Methoden allerdings stellt einen sehr effizienten und leistungsfähigen Ansatz dar, der auch große und physikalisch komplexe Systeme bewältigen kann.

Die beiden beispielhaften großskaligen Simulationen in dieser Arbeit sind als Machbarkeitsstudien der Methodik zu verstehen, sodass deren Ergebnisse keine expliziten Fragen beantworten sollen. Sie zeigen allerdings, dass die Ansätze erfolgreich auch für reale Problemstellungen Anwendung finden können. Zudem kann so der reale Effizienzgewinn abgeschätzt werden, und auf Stärken als auch Schwächen der Ansätze eingegangen werden.