Universität zu Köln

Backhaus, Teodor (2016). Monomial bases and PBW filtration in representation theory. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we study the Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW) filtration on simple finite-dimensional modules of simple complex finite-dimensional Lie algebras. This filtration is induced by the standard degree filtration on the universal enveloping algebra. For modules of certain rectangular highest weights we provide a new de- scription of the associated PBW-graded module in terms of generators and relations. We also construct a new basis parametrized by the lattice points of a normal polytope. If the Lie algebra is of type B3 we construct new bases of PBW-graded modules associated to simple modules of arbitrary highest weight. As an application we find that these modules are favourable modules, implying interesting geometric properties for the degenerate flag varieties. As a side product we state sufficient conditions on convex lattice 0,1-polytopes to be normal. We study the Hilbert–Poincaré polynomials for the associated PBW- graded modules of simple modules. The computation of their degree can be reduced to modules of fundamental highest weight. We provide these degrees explicitly. We extend the framework of the PBW filtration to quantum groups and provide case independent constructions, such as giving a filtration on the negative part of the quantum group, such that the associated graded algebra becomes a q-commutative polynomial algebra. By taking the classical limit we obtain, in some cases new, monomial bases and monomial ideals of the associated graded modules.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Monomiale Basen und PBW-Filtrierung in der Darstellungstheorie German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Arbeit studieren wir die Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW) Filtrierung auf einfachen endlich-dimensionalen Moduln einfacher endlich-dimensionaler komplexer Lie-Algebren. Diese Filtrierung ist durch die standard Gradfiltrierung auf der universell einhüllenden Algebra induziert. Für bestimmte Höchstgewichtsmoduln geben wir eine neue Beschreibung in Erzeuger und Relationen des assoziierten PBW-graduierten Moduls an. Wir konstruieren ebenfalls eine, durch Gitterpunkte eines Polytopes parame- trisierte, Basis an. Für die Lie-Algebra vom Typ B3 konstruieren wir Basen von PBW-graduierten Moduln assoziiert zu einfachen Moduln von beliebigem höchsten Gewicht. Eine Anwendung unser Ergebnisse ist, dass diese Moduln favorisiert sind, was wiederum interessante geometrische Eigenschaften der assoziierten degenerierten Fahenvarietäten zur Folge hat. Als Nebenprodukt geben wir hinreichende Bedingungen für konvexe 0,1-Gitterpolytope an, die die Normalität solcher Polytope implizieren. Wir studieren die Hilbert–Poincaré Polynome der assoziierten PBW-gra- duierten Moduln einfacher Moduln. Die Berechnung deren Grade kann auf Moduln fundamentaler Gewichte reduziert werden. Wir geben diese Grade explizit an. Wir erweitern die Theorie der PBW Filtrierung auf Quantengruppen und geben vom Typ unabhängige Konstruktionen an, wie zum Beispiel eine Filtrierung des negativen Teil der Quantengruppe, sodass die assoziierte graduierte Algebra eine q-kommutative Polynomalgebra wird. In dem wir den klassischen Limes betrachten, erhalten wir, in manchen Fällen neue, monomiale Basen und monomiale Ideale des assoziierten graduierten Moduls. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Backhaus, Teodor tbackha@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-65741
Date:	2016
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Representation theory, monomial bases, Lie algebras, quantum groups, polytopes, Hilbert-Poincaré polynomials, combinatorics, Hasse diagrams, monomial ideals English
Date of oral exam:	19 January 2016
Referee:	Name Academic Title Littelmann, Peter Prof. Dr. Burban, Igor Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6574